IRISAN KERUCUT
Rumus jarak, jarak titik dengan titik dan jarak titik dengan garis,
dapat digunakan untuk menentukan persamaan dari kurva-kurva irisan
kerucut. Tetapi sebelum menentukan persamaan-persamaan tersebut, kita
akan membahas beberapa keluarga kurva yang dihasikan oleh irisan
kerucut. Topi ulang tahun merupakan salah satu contoh kerucut yang dapat
dijumpai di sekitar kita. Titik pada kerucut disebut
titik puncak dan lembaran kertas yang membentuk sisi kerucut disebut
selimut
kerucut. Sesuai dengan namanya kurva-kurva dalam keluarga irisan
kerucut, dapat dihasilkan dengan mengiris suatu kerucut, atau lebih
tepatnya, kurva-kurva tersebut merupakan hasil perpotongan suatu bidang
dengan kerucut. Apabila bidang tersebut tidak melalui titik puncak,
irisannya akan menghasilkan lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.
Perhatikan gambar berikut.
Masing-masing irisan kerucut tersebut dapat didefinisikan dalam
persamaan jarak titik dengan titik, ataupun jarak titik dengan garis.
Misalnya, titik-titik (–4, –2), (4, –2), dan (4, 4) merupakan
titik-titik yang berada pada lingkaran yang berpusat di (0, 1) dan
berjari-jari 5 satuan. Sehingga,
definisi lingkaran adalah himpunan
semua titik yang memiliki jarak yang sama (yang disebut jari-jari)
terhadap suatu titik tertentu (yang disebut titik pusat).
Contoh lainnya, titik-titik (0, 0), (4, 2) dan (8, 8) yang dilalui
oleh suatu parabola memiliki jarak yang sama terhadap titik (0, 2) dan
garis
y = –2. Ilustrasi ini mengarahkan kita ke dalam definisi parabola:
parabola
adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama terhadap
suatu titik tertentu (yang disebut titik fokus) dan suatu garis yang
diberikan (yang disebut garis direktris).
Contoh : Menemukan Persamaan Parabola
Tentukan persamaan parabola yang memuat semua titik yang berjarak sama terhadap titik (0, 2) dan garis y = –2.
Pembahasan Kita gunakan pasangan berurutan (
x,
y) untuk merepresentasikan sembarang titik pada parabola. Karena semua titik pada garis
y = –2 dapat dituliskan ke dalam (
x, –2), maka kita dapat menyatakan bahwa jarak titik (
x,
y) terhadap (
x, –2) sama dengan jarak (
x,
y) terhadap (0, 2). Dengan menggunakan rumus jarak,
Sehingga, semua titik yang memenuhi kondisi tersebut adalah semua titik pada parabola dengan persamaan (1/8)
x2.
Lalu bagaimana jika jarak titik (
x,
y) terhadap fokus
kurang dari jarak (
x,
y) terhadap direktris? Bagaimana jika jarak (
x,
y) terhadap fokus sama dengan 5/6 dari jarak (
x,
y) terhadap direktris. Mungkin kita akan menebak bahwa titik-titik (
x,
y)
tersebut akan membentuk kurva dalam keluarga irisan kerucut lainnya.
Dalam hal ini, titik tersebut akan membentuk elips. Jika jarak (
x,
y) terhadap fokus
lebih dari jarak (
x,
y)
terhadap direktris, maka titik-titik tersebut akan membentuk hiperbola.
Pada gambar a di bawah, panjang ruas garis dari fokus ke masing-masing
titik pada grafik (ditunjukkan oleh ruas garis orange), sama dengan 5/6
dari panjang ruas garis dari direktris dengan titik-titik yang sama.
Perhatikan bahwa titik-titik yang memenuhi kondisi seperti itu akan
membentuk setengah elips. Pada gambar b, garis-garis dan titik-titik
yang membentuk setengah elips digerakkan dengan kondisi yang sama
sehingga membentuk suatu grafik elips secara utuh.